本文转自公众号 数学于算法之美

普林斯顿大学的某个网站至今仍保留着上世纪的页面风格。这个简陋的网站上只有红色、蓝色、紫色和橙色的文字，以及一系列难懂的短语列表，如“不可能性定理”、“自旋玻璃态”和“费米气体”。 

这就是“数学物理开放问题”（Open Problems in Mathematical Physics）的网站，它列出了数学物理学中最令人费解的 13 道数学难题。解开其中任一难题，都可能为你赢得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖。同时，网站编辑还会在问题旁边贴出一个卡通爆炸图案，上面写着“已解决！” 

“数学物理开放问题”的网站。其中，本文的量子霍尔电导问题已经被贴上“SOLVED!”的标签。 

其中一个问题折磨了数学家们多年，却只取得零星的进展。在物理学界之外，很少有人听说过量子霍尔电导问题（quantum Hall conductance problem），但它与量子技术的实际应用有着紧密关系。你可以想象，当一位名为Spyridon Michalakis的新人声称得到了答案时，人们作何期望。然而，他提出的这个“不可能问题”的解法本身就不可能被理解——或说，是差点不可能。 

数学天才 

Spyridon Michalakis 在希腊长大，他童年时的夏日时光在和两兄弟的沙滩排球游戏中度过。但是到了晚上，当兄弟们贴在屏幕前玩电子游戏时，他却在解数学难题。1994 年，当他的哥哥从全国数学竞赛中铩羽而归后，14 岁的 Spyridon 却解出了那份试卷上的问题。虽然他所花的三天时间远超竞赛规定的三小时，但在数学上他一向不轻言放弃。 

获得量子信息科学博士学位后，Michalakis 来到新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯国家实验室，开启他学术职业生涯。几天后，他与新主管 Matthew Hastings 在一家寿司店共进午餐。Hastings 问：“你是想现在就做些有趣的工作，还是先热热身？” Michalakis 说，他已经准备好迎接挑战。 

当天晚些时候，Hastings 给他发送了那个普林斯顿大学的复古网页链接，并解释说这些是由数学物理学家 Michael Aizenman 于 1998 年至 1999 年间收集的难题。Michalakis 看到，只有一个问题旁边贴上了卡通爆炸图案，尽管它只是被部分解决了。他随后意识到，即便是这个部分的解决方案，也为两位数学家分别赢得了 2006 年和 2010 年的菲尔兹奖章。 

Hastings 想让他尝试的是量子霍尔电导问题，而 Michalakis 此前从未听说过它。由于 Hastings 热衷于让他的下属自力更生，放他们接下来几个月自己与沮丧感搏斗， Michalakis 被吓坏了：“这就像对某人说：‘你有成为好莱坞明星的潜质，放手去做就行。’” 

分数量子霍尔效应 

首先，Michalakis 必须弄清量子霍尔效应是什么。物理学家埃德温·霍尔（Edwin Hall）于 1879 年发现，当电流通过金属片时，在垂直方向施加磁场，一小部分电流会发生偏转。 

霍尔的发现比电子被发现还要早 18 年。1980 年物理学家冯·克利青（Klaus von Klitzing）的重复实验确证了这一效应，这次电流通过的是冷却到接近绝对零度的金属和半导体之间的薄界面。在这些条件下，电流是二维的，正如超薄石墨烯材料一样，二维完全改变了它的性质。冯·克利青发现，如果缓慢增加磁场强度，偏转的电流并不会像预期般稳定增长，而是发生阶跃（current step）。 

也就是说，电流表现得更像量子世界的粒子一样，有特定的能级，只不过这是在日常生活中可见的量子行为。 

更令人印象深刻的是，在不完美的实验条件下也能得到相同的结果：使用含大量杂质的半导体得到的阶跃与冯·克利青实验中的完全一致。这引起了轰动，因为量子效应是出了名的挑剔，只在精心设计的实验中出现。 

1982 年，AT&T 贝尔实验室的研究人员改进了这一实验，这进一步加深了人们的兴趣。他们在实验中使用了更强的磁场和更低的温度，发现在原来的能量阶跃之间还有等分的新阶跃。他们给这一新现象起了专属的名字：分数量子霍尔效应（fractional quantum Hall effect）。 

Michalakis 花了很长的时间来弄清楚，对于量子霍尔效应出现的原因，理论研究者们是怎样开始研究的。他发现，关键点出现在 20 世纪 80 年代，当时物理学家 David Thouless 等人正着手绘制一幅涉及到拓扑学的量子霍尔效应全景图。 

拓扑学是对物体整体性质的数学研究，我们可以把它想象成在几何学的基础上简化一步。拓扑学是研究不受细微改变影响的形状性质的得力工具。例如，一个甜甜圈被压扁后，它不再呈环形，但仍然是甜甜圈。 

用数学方法来描述这类事物时会用到两个性质：其一是“亏格”（genus），表示一个物体上有多少个洞；其二是“卷绕数”（winding number），表示一个物体环绕另一个物体的圈数。 

挤压一枚甜甜圈（或右侧的小饼干）会改变其几何形状，但洞的数量不变。在拓扑学中，这一性质被称为“亏格”。卷绕数描述的是一个物体环绕另一个物体的圈数，就像手指上缠绕的橡胶圈一样。 

Thouless 和合作者将量子霍尔效应中的电子视作连续的电子海，并用拓扑语言来描述它。这就解释了冯·克利青观察到的现象。就像挤压甜甜圈一样，如果你轻微改变电子路径，类似于半导体中的杂质造成的效果，电子海的拓扑描述不会发生明显变化。这就从数学上解释了为什么即使在实验不精确的情况下，这种效应也精确发生了。结果还表明，卷绕数（只能是1或2这样的整数）与阶跃出现时的电压在数学上有着紧密的联系。 

平息电子海 

但在表象之下，Thouless 的描述并不现实。根据量子理论，量子海中的电子可以储存任意大小的能量，在观察到阶跃前，其中一些电子应该有足够的能量使电导率上升。但这样一来，描述电子的数学会非常复杂，所以 Thouless 人为地将能量涨落平均化，从而简化计算。然而不幸的是，由于没有充分的证据支持这种假设，问题仍然没有得到解决。 

这就是 Michalakis 面临的沮丧处境。但是当他进一步探索这个问题时，突然灵光乍现。Hastings 找他来完成这项任务一定是有原因的。他开始仔细查阅 Hastings 的研究目录，很快就找到了有希望解决问题的工具。 

从那时起，Michalakis 的经验缺乏变成了一种优势，使他能够绕过许多困住了专家的死路。在 Hastings 的引导下，他逐渐构建了对这个问题的全新认知模型。 

Michalakis 和 Hastings 提出的解法关键在于，对问题中拓扑结构的理解更加精细。目前描述量子霍尔效应的最佳工具，是过去十年间发展起来的绝热演化（adiabatic evolution）。它的目标是解释当磁场改变时，量子海中的电子为什么没有足够的能量瞬间跃上下一个台阶，而是必须先到达台阶底下。但这仍然需要像 Thouless 那样将能量涨落平均化。 

两人使用的是一个被称为“准绝热演化”的改进版工具，与其前身不同的是，它本身是拓扑的。这使他们能够看到量子海的整体能量景观，并消除所有的峰和谷，因为拓扑结构不会受这些细节影响。 

这听起来像是作弊，但 Michalakis 相信，这为 Thouless 未能解决的问题提供了数学上的突破口。经过睡眠不足的 14 个月后，Michalakis 和 Hastings 完成了证明，并迅速发布到了网上。问题被解决了。 

但问题真的解决了吗？当他们试图就此发表正式文章时，审稿人们却无法理解它。“Hastings 和 Michalakis 的论文技巧性太强，”以色列海法理工学院的物理学家 Joseph Avron 说，“我无法从全部步骤中判断整体证明是否成立。” Avron 是 1999 年最初提议将这个问题添加到普林斯顿网站的人之一，因此他有权宣布它是否已被解决。 

“很长一段时间里，我可能是唯一相信他们的论证基本合理且完整的人，” Michalakis 的前导师，加州大学戴维斯分校的 Bruno Nachtergaele 说。他认为两人只是缺乏耐心写出易懂的数学证明。因此，这篇论文被搁浅了三年有余，因为它太重要以至于不能拒稿，但也太难理解以至于无法接收。 

但这并没有阻止其他人对这篇文章进行思考。论文完成 6 个月后，东京大学的数学物理学家 Yoshiko Ogata 邀请 Michalakis 解释他的解法。Michalakis 用了整整 6 堂讲座来解释，但听众们仍然摸不着头脑。 

Hastings 和 Michalakis 于 2013 年最后一次梳理了这一证明，使其尽可能地紧凑和优雅。但改进后的论文仍未获包括 Avron 在内的评审人的认可。他和两人打了电话，但仍然无法弄懂证明中的数学。“当我提问时，我认为他们误解了我的问题，我也误解了他们的答案。” Avron 说。在两年多的时间里，他不仅和两人多次交谈，还多次重读了论文，并参加了他们的讲座。最后，综合他自己和其他专家对不同证明部分的理解，Avron 终于认可了该论文。 

Spyridon Michalakis写出的数学证明非常复杂，以至于其同行花了十年时间才最终理解它。（摄影：Brad Torchia） 

“已解决！” 

论文最终在 2015 年得以发表，但是除非 Avron 能自己完全读懂它，否则他还不会在普林斯顿网页上把这个问题标记为“已解决”。好在不久之后，其他研究者用 Avron 能够理解的数学语言发表了补充论文。一马当先的是罗马第三大学的 Alessandro Giuliani 等人，他们使用更传统的数学工具来分析这个问题，为霍尔效应量子化提供了额外证据，同时也印证了 Michalakis 和 Hastings 在他们的工作中作出的关键假设。 

不久，在问题被贴出的 19 年后，同时也是 Michalakis 和 Hastings 完成证明 10 年后，Avron 终于把这个问题标记为“已解决！”

不是所有人都同意这一问题已成定论。佐治亚理工学院的物理学家 Jean Bellissard 说：“他们证明了量子霍尔效应的拓扑性，但没有证明电导是阶跃变化的，存在平台。”但是 Michalakis 反驳了这点，而 Bellissard 也承认他们的工作是一项突破，是最终解法重要的一部分。 

不管怎样，这个证明有助于实现量子霍尔效应的实际应用。Hastings 现在就在微软位于加州的量子计算实验室“Q 站”工作，他正在试图造出一种全新的量子计算机。 

大多数量子计算机利用亚原子粒子可处于叠加态这一特性，使某些难以处理的计算变得容易。问题在于，基于粒子的量子比特十分脆弱，即使是最轻微的振动都能使之出错。然而，有拓扑性的量子比特就像量子霍尔效应本身一样稳定。Hastings 说：“微软正在试图开发一种新的量子比特：拓扑量子比特。” 

微软试图制造的量子比特基于电子海中的微小缺陷：“任意子”。Hastings 和 Michalakis 的证明启发了它们的制造。 

那么他们有机会获得菲尔兹奖吗？这一数学界最高奖项 4 年一次，颁发给 4 位 40 岁以下的数学家。当他们最初发表证明时，Michalakis 29 岁，Hastings 则已 36 岁。由于科学界花了近十年才接受他们的证明，这意味着等 2022 年评选下一届菲尔兹奖时，两人都已失去资格。不过，这并没有困扰到 Michalakis。他现在将研究与科学传播相结合，比如成为电影《蚁人》的科学顾问。“我不再关心获奖了，”他说，“对我来说，弄明白问题的真正乐趣在于与下一代人分享它。” 

原文链接：https://www.newscientist.com/article/mg24132160-400-the-baffling-quantum-maths-solution-it-took-10-years-to-understand/ 

论文链接：https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00220-014-2167-x