转自公众号算法与数学之美

空间这个概念人人都知道，但如果要追问一句，空间到底是什么，那恐怕就很少有人能讲清楚了。在一般人看来，空间就是空间，它无处不在，没有大小没有边界更没有形状，我们无法想象扭曲的空间是什么样的。这很正常，不识庐山真面目，只缘身在此山中，人类自己就生活在三维空间之中，是不可能真正形象直观地去认识空间的。但即便如此，我们还是可以通过一些类比和实验，来探究一下三维空间的形状。

我们先把目光放低一个维度，去看一下二维世界的形状。假如有一种生活在二维世界的生物，比方说无限扁的蚂蚁吧，那它们肯定也跟我们一样，无法直观地去观察自己所处的世界到底是什么形状。如果有只二维蚂蚁科学家跟大家说，我们生活的世界根本不是一个平面，而是一个曲面，那大家肯定不信。那有没有什么办法，能让二维蚂蚁科学家验证自己的说法呢？还真有。平面几何里有个常识，三角形的三个内角之和等于180度。但请注意，这个规律，只在平面几何中才成立，在曲面中不成立。如果你在地球仪上画一个三角形，然后把它的三个内角加起来，那这个数字就会大于180度。如果你在马鞍上测量的话，这个数字就会小于180度。

如果二维蚂蚁科学家知道这个知识的话，就好办了。它们可以在二维世界里选三个点，然后在三个点之间连上绳子，拽直，这样就组成了一个三角形，然后去测量这三角形的三个内角之和。如果结果刚好等于180度，那就说明它们的世界是一个平面，如果结果不是180度，那就验证了蚂蚁科学家的说法，它们生活的世界是一个曲面。而且通过最终的结果大小，还能看出这个曲面究竟是球形还是马鞍形。这个方法简单有效，能让蚂蚁在不跳出二维世界的情况下，来认识自己空间的形状。更妙的是，我们人类也可以采用类似的办法，来认识三维空间的形状。

 举个例子。在爱因斯坦的广义相对论中，有一个极其重要的假设，就是大质量的物质，比如太阳，会让周围的空间发生弯曲。而且质量越大，空间的弯曲就越厉害。这个预言要怎么验证呢？我们可以采取跟蚂蚁科学家们类似的方法来验证：先选取两颗除了太阳以外的恒星，然后用两根超级长的绳子把地球和这两颗恒星连起来，组成一个三角形。接下来，我们测量这个超级三角形在地球这一端的夹角。因为我们要验证的是“太阳周围的空间是不是发生了弯曲”，所以，当太阳靠近这个三角形的时候，我们测量一次，等太阳远离这个三角形的时候，我们再测量一次，如果两次测到的结果不一样，就说明太阳导致了空间的扭曲。

 当然了，在实际操作中，我们找不到这么长的绳子，所以科学家是利用光线来完成实验的，因为光总是沿最短的路线传播。而且为了避免太阳光对光线的干扰，还要在日全食的时候才能进行试验。在1919年，一支英国的天文队伍利用这种方式，成功验证了爱因斯坦的相对论。他们通过观察发现，地球和两颗恒星之间的夹角，在太阳干扰和不干扰的情况下出现了微小的差异，这就说明太阳的确扭曲了周围的空间。之后的其他实验也得到了类似结果，广义相对论由此得到了验证。

那你可能会想，即使我们知道了空间是可以弯曲的，那又怎样？反正我们就生活在空间之内，空间弯不弯曲能影响到我们吗？答案是：对我们的影响太大了。因为引力，就跟空间的弯曲有关。

 在牛顿时代，人们就已经知道了万有引力，知道苹果从树上掉下来是因为地球的引力。但问题是，引力到底是怎么来的呢？在爱因斯坦之前，大家只能认为，引力是瞬间作用，反正各种物体之间就是会相互吸引。但爱因斯坦在对时空形态进行研究之后提出，引力其实就是空间的弯曲所导致的：大质量的物体会导致空间弯曲，弯曲的空间又影响了物质的运动，这才是引力的真正本质。

 用个模型来解释一下。你可以把空间想象成一张巨大的有弹性的保鲜膜，一般情况下是平坦的。这时候，你往上面放了一个物质，比如说一颗球，那这颗球就会让膜变形，也就是导致空间发生弯曲。一旦膜产生了弯曲，就会使得膜上面别的东西的运行轨迹跟着发生变化。这就是引力的来源。所以，我们感受到的重力，不是因为地球在吸引我们，而是地球弯曲了我们周围的空间，而空间的形变又影响了我们的运动。所以说，弯曲的空间绝不是没有意义的，它会对我们产生切切实实的影响。如果空间扭曲成很特殊的形状，就有可能具有很特殊的性质。

 举个例子，如果你在纸上画上一对手套，无论你怎么旋转移动，左手套都变不成右手套。三维世界里的手套也一样，两只手套看起来一模一样，但左手套永远只能戴在左手上，右手套永远只能戴在右手上，没法儿交换。

但如果我们让画手套的那张纸扭曲变形一下，情况就会不同了。如果我们把这张纸的一侧转一圈，再跟另一侧粘贴在一起的话，就能得到一个特殊的二维平面，叫“莫比乌斯环”，这个你可能听说过。如果我们让纸片上的左手套在莫比乌斯环上转一圈，那就会发现，左手套在回到原地的时候，就变成了一只右手套。同样的，三维空间也可能形成像莫比乌斯环这样奇妙的形状。如果你拿着左手套，在这种形状的空间里转一圈，那左手套就会变成右手套，你的心脏也会从身体左边转移到右边。从这个例子中你就能感受到，特殊形态的空间，可能会具有非常奇妙的性质。

 参考数学科普神作《从一到无穷大》 

题外话：读书可以扩充我们知识边界，获得更多看问题的视角，但盲从是要不得的...

可以看更高维的推演，代数几何与几何代数(不是代数与几何)，数学这两个分支都OK~~

格拉斯曼空间与黎曼空间，都可以了解一下~~