[转帖]模运算及其应用三基本应用_Android, Python及开发编程讨论区_Weblogic技术|Tuxedo技术|中间件技术|Oracle论坛|JAVA论坛|Linux/Unix技术|hadoop论坛_联动北方技术论坛  
网站首页 | 关于我们 | 服务中心 | 经验交流 | 公司荣誉 | 成功案例 | 合作伙伴 | 联系我们 |
联动北方-国内领先的云技术服务提供商
»  游客             当前位置:  论坛首页 »  自由讨论区 »  Android, Python及开发编程讨论区 »
总帖数
1
每页帖数
101/1页1
返回列表
0
发起投票  发起投票 发新帖子
查看: 3174 | 回复: 0   主题: [转帖]模运算及其应用三基本应用        下一篇 
mengyuanye
注册用户
等级:少校
经验:1413
发帖:108
精华:7
注册:2012-11-14
状态:离线
发送短消息息给mengyuanye 加好友    发送短消息息给mengyuanye 发消息
发表于: IP:您无权察看 2012-11-22 14:17:59 | [全部帖] [楼主帖] 楼主

5.《孙子问题(中国剩余定理)》

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:

“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合这个条件的最小数。”

这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法,国际上称为“中国剩余定理”.

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:

三人同行七十稀,五树梅花甘一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。

这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理,我把此种解法推广到有n(n为自然数)个除数对应n个余数,求最小被除数的情况。输入n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数:

/*

函数名:ResidueTheorem

函数功能:运用剩余定理,解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数(除数不能互相整除)和对应的余数,返回最小被除数                                                                          

输入值:unsigned int devisor[],存储了n个除数的数组

    unsigned int remainder[],存储了n个余数的数组

    int length,数组的长度

返回值:unsigned int, 最小被除数

*/ 

unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)

{
unsigned int product = 1; //所有除数之乘积 
for (int i=0; i<length; i++)//计算所有除数之乘积  
{
      product *= devisor[i];
}
//公倍数数组,表示除该元素(除数)之外其他除数的公倍数
unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);
for (int i=0; i<length; i++)//计算除该元素(除数)之外其他除数的公倍数  
{
      commonMultiple[i] = product / devisor[i];
}
unsigned int dividend = 0; //被除数,就是函数要返回的值 
for (int i=0; i<length; i++)//计算被除数,但此时得到的不是最小被除数 
{
      unsigned int tempMul = commonMultiple[i];
      //按照剩余理论计算合适的公倍数,使得tempMul % devisor[i] == 1
      while (tempMul % devisor[i] != 1)
      {
            tempMul += commonMultiple[i];
      }
      dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数 
}
delete []commonMultiple;
return (dividend % product); //返回最小被除数
}


6. 凯撒密码

凯撒密码(caeser)是罗马扩张时期朱利斯o凯撒(Julius Caesar)创造的,用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用,z的后面可以堪称是a。 

例如,当密匙为k = 3,即向后移动3位时,若明文为”How are you!”,则密文为”Krz duh btx!”。

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下:

在这里,我们做此约定:明文记为m,密文记为c,加密变换记为E(key1,m)(其中key1为密钥),

解密变换记为D(key2,m)(key2为解密密钥)(在这里key1=key2,不妨记为key)。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换:c≡m+key (mod n) (其中n为基本字符个数)

同样,解密过程可表示为:m≡c+key (mod n) (其中n为基本字符个数)
C++实现功能函数:

/*

函数功能:使用凯撒密码原理,对明文进行加密,返回密文                                          函数名:Encrypt

输入值:const char proclaimedInWriting[],存储了明文的字符串 

    char cryptograph[],用来存储密文的字符串 

    int keyey,加密密匙,正数表示后移,负数表示前移 

返回值:无返回值,但是要将新的密文字符串返回 

*/ 

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)

{
const int NUM = 26; //字母个数 
int len = strlen(proclaimedInWriting);
for (int i=0; i<len; i++)
{
      if (proclaimedInWriting[i] >= 'a' && proclaimedInWriting[i] <= 'z')
      {//明码是大写字母,则密码也为大写字母
            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'a' + key) % NUM + 'a';
      }
      else if (proclaimedInWriting[i] >= 'A' && proclaimedInWriting[i] <= 'Z')
      {//明码是小写字母,则密码也为小写字母
            cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - 'A' + key) % NUM + 'A';
      }
      else
      {//明码不是字母,则密码与明码相同 
            cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];
      }
}
cryptograph[len] = '\0';
}
/*

函数功能:使用凯撒密码原理,对密文进行解密,返回明文                                          函数名:Decode

输入值:char proclaimedInWriting[],用来存储明文的字符串 

    const char cryptograph[],存储了密文的字符串 

    int keyey,解密密匙,正数表示前移,负数表示后移(与加密相反) 

返回值:无返回值,但是要将新的明文字符串返回 

*/
void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)
{
      const int NUM = 26; //字母个数 
      int len = strlen(cryptograph);
      for (int i=0; i<len; i++)
      {
            if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')
            {//密码是大写字母,则明码也为大写字母,为防止出现负数,转换时要加个NUM 
                  proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'a' - key + NUM) % NUM + 'a';
            }
            else if (cryptograph[i] >= 'A' && cryptograph[i] <= 'Z')
            {//密码是小写字母,则明码也为小写字母
                  proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - 'A' - key + NUM) % NUM + 'A';
            }
            else
            {//密码不是字母,则明码与明密相同 
                  proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];
            }
      }
      proclaimedInWriting[len] = '\0';
}


       模运算及其简单应用就先讲到这了,其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛,我这这里搜集整理了一些最最基本的情形,希望能够起到一个抛砖引玉的作用,让更多的人关注模运算,并及其应用到更广阔的领域中。




赞(0)    操作        顶端 
总帖数
1
每页帖数
101/1页1
返回列表
发新帖子
请输入验证码: 点击刷新验证码
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册
技术讨论