原初中几何第二册上有这样一道练习题，除3、4、5外，再找出5组勾股数。为了找到更多的勾股数，我们设计制作了表1勾股数计算表（使用CASIO fx-39函数型计算器手工进行计算）。
根据勾股定理a2+b2=c2，即“一个平方数加上又一个平方数等于另外一个平方数”。数学大师华罗庚的至理名言“巧办法从笨办法之中来”给予了我们极大的启示。首先建立勾平方的数据库，然后从3的平方数9开始，逐次两个平方数相加，9+16=25，对应得到一组勾股数3、4、5。再用25逐次往下加144，等于169，对应得到又一组勾股数5、12、13。如此经过反复计算得到表1中的数据。
一、通过分析表表1中的数据，如勾股数5、12、13。我们发现：勾为奇数时，对应的勾股数，“弦股之和等于勾的平方，弦股之差等于1”。即c+b=a2，c-b=1，整理后为：

该公式适用于计算勾为奇数（合数）和质数对应的勾股数。
二、对于勾股数6、8、10而言，“弦股之和等于勾的平方的1/2，弦股之差等于2”。即c+b=1/2a^2，c-b=2，整理后为：

该公式适用于勾为偶数，且勾的平方要能被4整除。
三、对于勾股数20、21、29而言，“弦股之和等于勾的平方的1/8，弦股之差等于8”。即c+b=1/8a^2，c-b=8，整理后为：
③平方数十六分法：b=1/16a^2-4  c=1/16a^2+4
该公式适用于勾为偶数，且勾的平方要能被16整除。
四、对于勾股数48、55、73而言，“弦股之和等于勾的平方的1/18，弦股之差等于18”。即c+b=1/18a^2，c-b=18，整理后为：
④平方数三十六分法：b=1/36a^2-9   c=1/36a^2+9
该公式适用于勾为偶数，且勾的平方要能被36整除。
五、有公约数的勾股��称为派生勾股数。由于合数可以分解成质因数的连乘积，因此可进行排列组合，用倍数法计算派生勾股数，取有效勾股数组成复合勾股数。如a=15，可以分解为5×3，3×5，按上述方法计算，再加上15用平方数二分法计算，即可得到三组复合勾股数：15  20  25，15  36  39，15  112  113
其实以上所有计算勾股数的方法，都是在用华罗庚推介的“笨办法”计算出结果以后，经过观察、分析，推导出的公式。基本公式应该是平方数二分法和平方数四分法。
六、如果要编写程序计算勾股数，请按表1的格式进行。序号不能变动，以方便检索查阅数据；输出打印质数应从2开始重新按自然数排列序号。（100以上打印输出可去掉a2这一列）。勾为奇数时，用平方数二分法中的c值作为 “返回”条件；勾为偶数时，用平方数四分法中的c值作为“返回”条件。
输出结果分为三种：
1、全部勾股数，包括派生勾股数；
2、全部质数；
3、全部勾股数，去除派生勾股数。（怎样将勾股数和派生勾股数分离开来，这可能是一个难题！）
七、历史上，很多数学家都想找到求质数的公式。1640年数学家费马宣称用一个公式找到了所有的质数。实际上，只找到了3、5、17、257、65537五个质数。
八、平方数二分法是一个极其重要的发现。当勾为奇数，其对应的勾股数包含有派生勾股数时，则该奇数必然是合数；当勾为奇数，其对应的勾股数是唯一的一组勾股数时，则该奇数必然是质数！
九、人们在寻找求质数的公式时，怎么也不会想到质数和勾股数之间存在必然的联系。从一开始，我们的目标是寻找更多的勾股数。在计算勾股数的过程中，偶然发现了平方数二分法，从而发现“质数隐藏依附于勾股数之��”。在这里，质数不是用一个公式直接计算出来的，而是在计算勾股数的过程中自然产生的。
勾股定理是数学史上非常重要的定理之一。两千多年来，在找到了质数以后又一次焕发出无限的青春活力！

附表一   勾股数计算表
序号    a2    a勾    b股    C弦