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huang.wang
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发表于: IP:您无权察看 2019-1-22 11:26:32 | [全部帖] [楼主帖] 楼主


本文转自头条号 媒体精选


先说答案:行列式是线性变换的伸缩因子。 

理解行列式一定要从线性变换出发去理解,直接去理解它的代数形式是没有意义的。 

这篇文章的结构是: 

1、线性变换的几何直观 

2、实现线性变换的矩阵 

3、行列式 


1.线性变换的几何直观 

线性变换的几何直观有三个要点: 

(1)变换前是直线的,变换后依然是直线 

(2)直线比例保持不变 

(3)变换前是原点的,变换后依然是原点 

比如说旋转: 

image.png

image.png

比如说推移: 

image.pngimage.png

这两个叠加也是线性变换: 

image.pngzz

自己动手试一下(观察下是否符合之前的三个要求): 

image.png


2 实现线性变换的矩阵 

矩阵可以讲的东西非常多,我这里通过一个具体的例子来展示下矩阵是如何完成线性变换的。 

image.png

image.png

image.png

我把基画出来的原因是因为矩阵变换的其实是基。 

举例子来看看,比如旋转(旋转矩阵 image.png): 

image.png

如果要说详细点,实际上: 

image.png

我们只需要旋转基,就可以完成正方形的旋转: 

image.png

下面我们看看正方形的旋转过程中,旋转矩阵和基是怎样变化的(为了方便观察旋转,我标记出一个顶点): 

image.png

再给一个例子,看看推移是怎么改变基的: 

image.png


3 行列式 

3.1 行列式是线性变换的伸缩因子 

我们还是拿旋转矩阵来举例子: 

image.png

什么意思?我们来看看: 

image.png

image.png

在继续往下面讲之前,我设计了一个动画,让你来感受一下,变换矩阵的行列式由正到负,线性变换会怎样进行(我把基也标注出来): 

image.png

掌握了行列式是线性变换的伸缩因子这一点之后,我们就很容易理解各种行列式的值与线性变换的关系。 


3.2 行列式>0 

行列式>1,很显然对于图形有放大的作用: 

image.png

行列式=1,图形的大小不会变换: 

image.png

0<行列式<1,很显然对于图形有缩小的作用: 

image.png


3.3 行列式=0 

行列式等于0,有一个重要的结论是,矩阵不可逆。这点也很好理解。 

先看看什么是可逆。原始的图形是这个样子: 

image.png

通过旋转矩阵,逆时针旋转 45 度: 

image.png

再通过另外一个旋转矩阵,顺时针旋转 45 度: 

image.png

看起来这个正方形就像没有变换过一样,因此 

image.png

和 

image.png

互为逆矩阵。 

有的线性变换是可逆的,有的不行,比如行列式=0这样的线性变换就是不可逆的。从图像上看,图形会缩成一点: 

image.png

或者缩成一条直线: 

image.png

没有矩阵可以把它们恢复成原来的样子。 

这就好比摔碎的鸡蛋、泼出去的水、破了的镜子: 

image.png

所谓覆水难收、破镜难圆就是这个意思。 


3.4 行列式<0 

原始图像是这样的: 

image.png

被行列式<0的矩阵线性变换后是这样的: 

image.png

行列式<0,其实就是改变了基的“左右手法则”。 


4 推论 

知道了行列式的意义,我们就很容易知道,为什么说: 

image.png

我们也很容易知道,为什么说: 

image.png

这是因为: 

image.png

我们也很容易知道,为什么说三阶矩阵的行列式是列组成的平行六面体的体积。 



我超级酷,但是如果你回复我的话我可以不酷那么一小会儿。


——来自logo.png


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