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查看: 383 | 回复: 2   主题: [转帖]二维空间弯曲会让三角形内角和不等于180度,三维空间弯曲呢?        上一篇   下一篇 
liuliying930406
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发表于: IP:您无权察看 2018-10-17 15:24:26 | [全部帖] [楼主帖] 楼主


转自公众号算法与数学之美


空间这个概念人人都知道,但如果要追问一句,空间到底是什么,那恐怕就很少有人能讲清楚了。在一般人看来,空间就是空间,它无处不在,没有大小没有边界更没有形状,我们无法想象扭曲的空间是什么样的。这很正常,不识庐山真面目,只缘身在此山中,人类自己就生活在三维空间之中,是不可能真正形象直观地去认识空间的。但即便如此,我们还是可以通过一些类比和实验,来探究一下三维空间的形状。

 

我们先把目光放低一个维度,去看一下二维世界的形状。假如有一种生活在二维世界的生物,比方说无限扁的蚂蚁吧,那它们肯定也跟我们一样,无法直观地去观察自己所处的世界到底是什么形状。如果有只二维蚂蚁科学家跟大家说,我们生活的世界根本不是一个平面,而是一个曲面,那大家肯定不信。那有没有什么办法,能让二维蚂蚁科学家验证自己的说法呢?还真有。平面几何里有个常识,三角形的三个内角之和等于180度。但请注意,这个规律,只在平面几何中才成立,在曲面中不成立。如果你在地球仪上画一个三角形,然后把它的三个内角加起来,那这个数字就会大于180度。如果你在马鞍上测量的话,这个数字就会小于180度。

 


如果二维蚂蚁科学家知道这个知识的话,就好办了。它们可以在二维世界里选三个点,然后在三个点之间连上绳子,拽直,这样就组成了一个三角形,然后去测量这三角形的三个内角之和。如果结果刚好等于180度,那就说明它们的世界是一个平面,如果结果不是180度,那就验证了蚂蚁科学家的说法,它们生活的世界是一个曲面。而且通过最终的结果大小,还能看出这个曲面究竟是球形还是马鞍形。这个方法简单有效,能让蚂蚁在不跳出二维世界的情况下,来认识自己空间的形状。更妙的是,我们人类也可以采用类似的办法,来认识三维空间的形状。

 举个例子。在爱因斯坦的广义相对论中,有一个极其重要的假设,就是大质量的物质,比如太阳,会让周围的空间发生弯曲。而且质量越大,空间的弯曲就越厉害。这个预言要怎么验证呢?我们可以采取跟蚂蚁科学家们类似的方法来验证:先选取两颗除了太阳以外的恒星,然后用两根超级长的绳子把地球和这两颗恒星连起来,组成一个三角形。接下来,我们测量这个超级三角形在地球这一端的夹角。因为我们要验证的是“太阳周围的空间是不是发生了弯曲”,所以,当太阳靠近这个三角形的时候,我们测量一次,等太阳远离这个三角形的时候,我们再测量一次,如果两次测到的结果不一样,就说明太阳导致了空间的扭曲。

 当然了,在实际操作中,我们找不到这么长的绳子,所以科学家是利用光线来完成实验的,因为光总是沿最短的路线传播。而且为了避免太阳光对光线的干扰,还要在日全食的时候才能进行试验。在1919年,一支英国的天文队伍利用这种方式,成功验证了爱因斯坦的相对论。他们通过观察发现,地球和两颗恒星之间的夹角,在太阳干扰和不干扰的情况下出现了微小的差异,这就说明太阳的确扭曲了周围的空间。之后的其他实验也得到了类似结果,广义相对论由此得到了验证。

 

 

那你可能会想,即使我们知道了空间是可以弯曲的,那又怎样?反正我们就生活在空间之内,空间弯不弯曲能影响到我们吗?答案是:对我们的影响太大了。因为引力,就跟空间的弯曲有关。

 

 在牛顿时代,人们就已经知道了万有引力,知道苹果从树上掉下来是因为地球的引力。但问题是,引力到底是怎么来的呢?在爱因斯坦之前,大家只能认为,引力是瞬间作用,反正各种物体之间就是会相互吸引。但爱因斯坦在对时空形态进行研究之后提出,引力其实就是空间的弯曲所导致的:大质量的物体会导致空间弯曲,弯曲的空间又影响了物质的运动,这才是引力的真正本质。

 用个模型来解释一下。你可以把空间想象成一张巨大的有弹性的保鲜膜,一般情况下是平坦的。这时候,你往上面放了一个物质,比如说一颗球,那这颗球就会让膜变形,也就是导致空间发生弯曲。一旦膜产生了弯曲,就会使得膜上面别的东西的运行轨迹跟着发生变化。这就是引力的来源。所以,我们感受到的重力,不是因为地球在吸引我们,而是地球弯曲了我们周围的空间,而空间的形变又影响了我们的运动。所以说,弯曲的空间绝不是没有意义的,它会对我们产生切切实实的影响。如果空间扭曲成很特殊的形状,就有可能具有很特殊的性质。

 举个例子,如果你在纸上画上一对手套,无论你怎么旋转移动,左手套都变不成右手套。三维世界里的手套也一样,两只手套看起来一模一样,但左手套永远只能戴在左手上,右手套永远只能戴在右手上,没法儿交换。

但如果我们让画手套的那张纸扭曲变形一下,情况就会不同了。如果我们把这张纸的一侧转一圈,再跟另一侧粘贴在一起的话,就能得到一个特殊的二维平面,叫“莫比乌斯环”,这个你可能听说过。如果我们让纸片上的左手套在莫比乌斯环上转一圈,那就会发现,左手套在回到原地的时候,就变成了一只右手套。同样的,三维空间也可能形成像莫比乌斯环这样奇妙的形状。如果你拿着左手套,在这种形状的空间里转一圈,那左手套就会变成右手套,你的心脏也会从身体左边转移到右边。从这个例子中你就能感受到,特殊形态的空间,可能会具有非常奇妙的性质。

 参考数学科普神作《从一到无穷大》 

题外话:读书可以扩充我们知识边界,获得更多看问题的视角,但盲从是要不得的...

 





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发表于: IP:您无权察看 2018-11-1 8:30:48 | [全部帖] [楼主帖] 2  楼


可以看更高维的推演,代数几何与几何代数(不是代数与几何),数学这两个分支都OK~~



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发表于: IP:您无权察看 2018-11-1 8:32:04 | [全部帖] [楼主帖] 3  楼


格拉斯曼空间与黎曼空间,都可以了解一下~~



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